Demostrabilidad e Incompletitud

Teorema de Gödel

Kurt Gödel

La demostración del teorema de Gödel en su forma original es muy complicada y detallista, como no podía ser menos tratando con sistemas formales; sin embargo, si nos permitimos ciertas libertades en lo referente al rigor lógico es posible expresar de una manera más fácil la estrategia e ideas en que se fundamenta, esto es lo que intentaremos a continuación:

Como en cualquier sistema formal consideramos un alfabeto de símbolos, reglas que combinen los símbolos y formen las proposiciones, un conjunto de axiomas y un aparato lógico de reglas que permita obtener nuevas proposiciones a partir de otras ya obtenidas de los axiomas.

Gödel asigna un número a cada símbolo primitivo del alfabeto. Una vez que a cada símbolo le corresponde un número se continúa estableciendo una regla que asigne un número a cada proposición. Finalmente se define una regla para asignar un número a cada cadena de proposiciones en sucesión lógica que produce cada nueva proposición, i.e. se asigna un número a cada demostración. En lo que se conoce como la numeración de Gödel. Una vez que cada proposición del sistema formal tiene asignado un número estamos en disposición de analizar la estructura relacional entre dos proposiciones cualesquiera analizando la relación aritmética entre sus números correspondientes. El sistema de codificación de Gödel utiliza el producto exponencial de números primos, y se basa en el teorema de factorización de números primos que dice que todo número se puede expresar de forma única como producto de números primos. 

Una proposición será consecuencia de otra si sus correspondientes números están relacionados de una manera determinada; así, Gödel utiliza la aritmética de los números enteros para establecer un metalenguaje del sistema formal. Encontrará así una proposición que es verdadera pero que no es demostrable; véase Goldstein para más detalles, allí se ofrece una demostración del teorema Gödel en forma divulgativa. Este teorema es conocido como teorema de incompletitud de Gödel; demuestra Gödel que hay al menos una verdad que no es demostrables dentro del sistema. Se podría pensar entonces en extender el conjunto de axiomas con esta verdad y resolver el problema; sin embargo, el problema permanecería pues siguiendo el mismo razonamiento existiría una nueva verdad que no sería demostrable en el sistema, y así hasta el infinito. En esto consiste la incompletitud de un sistema formal. A partir de este teorema es posible deducir otro que se conoce como el teorema de inconsistencia y que dice que en todo sistema formal del que forme parte la aritmética no se puede demostrar su propia consistencia, i.e. no se puede estar seguro de encontrar alguna vez una proposición que sea verdadera y falsa a la vez. 

La relación entre sistemas formales y computabilidad es estrecha, los cálculos que se realizan desde los axiomas hasta alcanzar la verdad o falsedad de la fórmula inicialmente propuesta es un proceso computacional, en el sentido indicado de algoritmo de la sección anterior. Así de alguna manera se puede decir que demostrabilidad es equivalente a computabilidad y que completitud es equivalente a decidibilidad. 

Las implicaciones de la incompletitud en la propuesta de Gödel desmoronan el paraíso de los mecanicistas de encontrar un sistema formal en el que se pudiera demostrar toda verdad matemática, es decir reducir la matemática a un sistema lógico formal universal. Parece lógico extender el teorema de Gödel al ámbito de la física, esa física cuidadosamente axiomatizada en el siglo XIX, especialmente la mecánica, que se apoya en la matemática. Pero pensando con más cuidado pues no es tan inmediato como parece, el teorema de Gödel debe entenderse en su justa medida, en cuanto que es un teorema lógico matemático dentro del mundo de la ideas abstractas, extender su conclusiones al mundo de las realidades físicas supone un salto cualitativo. Penrose consciente de este hecho utiliza la mecánica cuántica para mostrar procesos físicos que se dan en el cerebro que no pueden conducir a un mecanicismo. Sobre las implicaciones en el mundo real del teorema de Gödel se ha escrito mucho desde distintas perspectivas y es todavía hoy un tema de discusión. De todas formas, desde un sentido puramente práctico, en física se construye un sistema y cuando se encuentra mediante experimentos que algún fenómeno que no encaja dentro del sistema se reconstruye la teoría, proponiendo un nuevo sistema.